Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，A（-m，0）、B（n，0），若$n=\sqrt{2-m}+\sqrt{2m-4}+4$．如圖C在x軸上，BC=2，Q從O向C運(yùn)動(dòng)，以AQ、BQ為邊作等邊△AEQ、等邊△FBQ．連接EF，點(diǎn)P為EF中點(diǎn)
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為多少？
（3）求EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)求出m與n的值，即可確定出A與B的坐標(biāo)；
（2）如圖1所示，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)H，則△ABH為等邊三角形，再由三角形AEQ與三角形BGF為等邊三角形，得到兩對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線(xiàn)平行得到EQ與AH平行，EQ與BH平行，進(jìn)而確定出四邊形EQFH為平行四邊形，根據(jù)P為EF的中點(diǎn)，得到P為HQ的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)Q從O點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也由P₁運(yùn)動(dòng)到P₂，利用中位線(xiàn)定理求出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)即可；
（3）如圖2所示，設(shè)出OQ=m，表示出MQ，NQ，EM，F(xiàn)N，以及FD，EF，可得出當(dāng)m=1時(shí)EF最小，求出EF的最小值即可．

解答 解：（1）∵n=$\sqrt{2-m}$+$\sqrt{2m-4}$+4，
∴m=2，n=4，即A（-2，0），B（4，0）；
（2）如圖1所示，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)H，則△ABH為等邊三角形，
∵△AEQ與△BFQ都為等邊三角形，
∴∠EAQ=∠FQB=60°，∠AQE=∠QBF=60°，
∴FQ∥AH，EQ∥BH，
∴四邊形EQFH為平行四邊形，
∵P為EF的中點(diǎn)，
∴P為HQ中點(diǎn)，
隨著點(diǎn)Q從O點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也由P₁運(yùn)動(dòng)到P₂，
∴P₁P₂=$\frac{1}{2}$OC=1，
即P運(yùn)動(dòng)的路徑為1；
（3）如圖2所示，
設(shè)OQ=m（0≤m≤2），
則MQ=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$m+1，NQ=$\frac{1}{2}$BQ=-$\frac{1}{2}$m+2，EM=$\sqrt{3}$MQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\sqrt{3}$，
FN=$\sqrt{3}$NQ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+2$\sqrt{3}$，F(xiàn)D=FN-EM=-$\sqrt{3}$m+$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{F{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{F{D}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{3（m-1）^{2}+9}$，
當(dāng)m=1時(shí)，EF有最小值為EF=3．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：等邊三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，以及中位線(xiàn)定理，熟練掌握中位線(xiàn)定理是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．