Question

2．閱讀理解題：一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，師生有下面一段對(duì)話，請(qǐng)你閱讀完后再解答下面問題
老師：同學(xué)們，今天我們來探索如下方程的解法：（x²-x）²-8（x²-x）+12=0
學(xué)生甲：老師，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，行嗎？
老師：這樣，原方程可整理為x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次數(shù)變成了4次，用現(xiàn)有的知識(shí)無法解答．同學(xué)們?cè)儆^察觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？
學(xué)生乙：我發(fā)現(xiàn)方程中x²-x是整體出現(xiàn)的，最好不要去括號(hào)！
老師：很好．如果我們把x²-x看成一個(gè)整體，用y來表示，那么原方程就變成y²-8y+12=0
全體同學(xué)：咦，這不是我們學(xué)過的一元二次方程嗎？
老師：大家真會(huì)觀察和思考，太棒了！顯然一元二次方程y²-8y+12=0的解是y₁=6，y₂=2，就有x²-x=6或x²-x=2
學(xué)生丙：對(duì)啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有這么多根啊
老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法．在這里，使用它最大的妙處在于降低了原方程的次數(shù)，這是一種很重要的轉(zhuǎn)化方法
全體同學(xué)：OK！換元法真神奇！
現(xiàn)在，請(qǐng)你用換元法解下列分式方程（$\frac{x}{x-1}$）²-5（$\frac{x}{x-1}$）-6=0．

Answer 1

分析 設(shè)t=$\frac{x}{x-1}$，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t²-5t-6=0，通過解該方程求得t的值，然后再來解關(guān)于x的分式方程．

解答 解：設(shè)t=$\frac{x}{x-1}$，則由原方程，得
t²-5t-6=0，即（t-1）（t+6）=0，
解得t=1或t=-6．
當(dāng)t=1時(shí)，$\frac{x}{x-1}$=1，無解；
當(dāng)t=-6時(shí)，$\frac{x}{x-1}$=-6，
解得x=$\frac{6}{7}$．
經(jīng)檢驗(yàn)x=$\frac{6}{7}$是原方程的解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．