Question

16．如圖，平移直線y=-x，平移后的直線與雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）有唯一的公共點(diǎn)A與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若y軸平分△AOB的面積，求k的值．

Answer 1

分析 設(shè)平移后的直線解析式為：y=-x+b，根據(jù)一元二次方程根的判別式求出b的值，解方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)題意確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．

解答 解：設(shè)平移后的直線解析式為：y=-x+b，
由題意得，方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$有一個(gè)公共解，
則x²-bx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則b²-4=0，
解得，b₁=2，b₂=-2（舍去），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
∵y軸平分△AOB的面積，
∴BC=AC，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，3），
∴3=$\frac{k}{-1}$，
解得，k=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一元二次方程方程根的判別式的應(yīng)用，求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．