Question

9．如圖，在y軸的正半軸上，自O(shè)點(diǎn)開始依次間隔相等的距離取點(diǎn)A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n，分別過(guò)這些點(diǎn)作y軸的垂線，與反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的圖象相交于點(diǎn)P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n，作P₂B₁⊥A₁P₁，P₃B₂⊥A₂P₂，P₄B₃⊥A₃P₃，…，P_nB_n-1⊥A_n-1P_n-1，垂足分別為B₁，B₂，B₃，B₄，…，B_n-1，連接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，得到一組Rt△P₁B₁P₂，Rt△P₂B₂P₃，Rt△P₃B₃P₄，…，Rt△P_n-1B_n-1P_n，它們的面積分別記為S₁，S₂，S₃，…，S_n-1，則S₁+S₂=$\frac{2}{3}$，S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 設(shè)OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-2A_n-1=a，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式得到S₁=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$），S₂=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$），S₃=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$），由此得出S_n-1=$\frac{1}{2}$×a×[$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$]，再代入計(jì)算即可．

解答 解：設(shè)OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-2A_n-1=a，
∵y=a時(shí)，x=-$\frac{2}{a}$，∴P₁的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{a}$，a），
∵y=2a時(shí)，x=-$\frac{1}{a}$，∴P₂的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{a}$，2a），
∴Rt△P₁B₁P₂的面積=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$），
Rt△P₂B₂P₃的面積=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$），
Rt△P₃B₃P₄的面積=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$），
…，
∴△P_n-1B_n-1P_n的面積=$\frac{1}{2}$×a×[$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$]，
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$）+$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$）=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{3a}$）=$\frac{2}{3}$，
S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$）+$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$）+$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$）+…+$\frac{1}{2}$×a×[$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$]
=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{na}$）=$\frac{n-1}{n}$．
故答案為$\frac{2}{3}$，$\frac{n-1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式，有一定難度．求出S_n-1的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．