Question

13．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若AB=6，AF=4EF，求CG的值與∠AFB的度數(shù)．
他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H，得到△BAF∽△HEF（如圖2）．
（1）CG=3，∠AFB=90°；
參考小明思考問題的方法，解決下列問題；
（2）如圖3，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若AF=3EF，求$\frac{CG}{AB}$的值；
（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，BF和DE相交于點G，且AB=kAD，∠DAG=∠BAC，求出$\frac{DF}{BE}$的值（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）過點E作EH∥CD交BG于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理得到△EFH∽△AFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CG=$\frac{1}{2}$AB=3；
（2）仿照（1）的解答思路計算即可；
（3）延長AG交DC于M，延長DE交AB的延長線于N，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答．

解答 解：（1）過點E作EH∥CD交BG于點H，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{HE}{CG}$，
∵點E是邊BC的中點，
∴BC=2BE，
∴CG=2HE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴EH∥AB，
∴△EFH∽△AFB，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AB}$，
∵AF=4EF，
∴AB=4EH，
∴CG=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵CD=6，
∴CG=BE，
在△ABE和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCG}\\{BE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCG，
∴∠BAE=∠CBG，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AFB=90°，
故答案為：CG=3，∠AFB=90°；
（2）如圖3，同（1）方法得出，CG=2HE，
同（1）的方法得出，$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AB}$，
∵AF=3EF，
∴AB=3EH，
∴EH=$\frac{1}{3}$AB，
∴CG=2EH=$\frac{2}{3}$AB，
∴$\frac{CG}{AB}$=$\frac{2}{3}$；
（3）延長AG交DC于M，延長DE交AB的延長線于N，
∵∠DAG=∠BAC，∠ADM=∠ABC，
∴△ADM∽△ABC，
∴$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=k，
∵點E是邊BC的中點，
∴$\frac{DM}{BE}$=$\frac{2}{k}$，
∵DC∥AB，點E是邊BC的中點，
∴AB=DC=BN，
∵DC∥AB，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DG}{GN}$，$\frac{DM}{AN}$=$\frac{DG}{GN}$，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DM}{AN}$，又AB=$\frac{1}{2}$AN，
∴DF=$\frac{1}{2}$DM，又$\frac{DM}{BE}$=$\frac{2}{k}$，
∴$\frac{DF}{BE}$=$\frac{1}{k}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．