Question

5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有一個Rt△OAC，其中∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3，將該三角形沿直線AC翻折得到△BAC．
（1）點A的坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$），點B的坐標(biāo)為（6，0），OA邊所在直線的解析式為y=$\sqrt{3}$x；
（2）在圖1中，一動點P從點O出發(fā)，沿折線O→A→B的方向以每秒2個單位的速度向B運動，設(shè)運動時間為t（秒）．請求出當(dāng)t為何值時，△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$；
（3）如圖2，固定△OAC，將△BAC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到△A′CB′，設(shè)A′C所在直線與OA所在直線的交點為E，請問在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在點E，使△ACE為等腰三角形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理和折疊的性質(zhì)易求得OA=AB=6，OB=6，AC=3$\sqrt{3}$，得到點A，B，的坐標(biāo)，由點A，O的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出OA解析式；
（2）點P在線段OA上運動，即0≤t≤3，以AC為底，PM=3-t為高，利用△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$，建立方程求出t即可；
（3）設(shè)出點E（m，$\sqrt{3}$m）的坐標(biāo)，分AC=AE．AC=CE，AE=CE三種情況建立方程求出m，即可求得符合條件的E點坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3
∴OA=6，AC=3$\sqrt{3}$，
∴A（3，3$\sqrt{3}$），
設(shè)直線OA解析式為y=kx，
∴3$\sqrt{3}$=3k，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴直線OA解析式為y=$\sqrt{3}$x，
由對折有，OB=6，
∴B（6，0），
故答案為A（3，3$\sqrt{3}$），B（6，0），直線OA解析式為y=$\sqrt{3}$x，
（2）由題意知：OA=AB=6，OC=BC=3，OB=6；
∵AC⊥OB，AC=3$\sqrt{3}$，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AC=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S△AOB=3$\sqrt{3}$
∵△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$，
∴點P只能在OA上，過點P作PM⊥AC，
∵OP=2t，
∴AP=6-2t，
∵0C=3，OA=6，
∵PM∥OC，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{PM}{OC}$，
∴$\frac{6-2t}{6}=\frac{PM}{3}$，
∴PM=3-t，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC×PM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（3-t），
∵△ACP的面積為△AOB面積的$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（3-t）=3$\sqrt{3}$，
∴t=1，
（3）∵點E在直線OA上，設(shè)點E（m，$\sqrt{3}$m），
∵A（3，3$\sqrt{3}$），C（3，0），
∴AC=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\sqrt{3}m-3\sqrt{3}）^{2}}$=2|m-3|，
CE=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\sqrt{3}m）^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}-6m+9}$，
∵△ACE為等腰三角形，
①當(dāng)AC=AE時，
∴2|m-3|=3$\sqrt{3}$，
∴m=3±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴E₁（3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$+$\frac{9}{2}$），E₂（3-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$）
②當(dāng)AC=CE時，
∴$\sqrt{4{m}^{2}-6m+9}$=3$\sqrt{3}$，
∴m=3（舍）或m=-$\frac{3}{2}$，
∴E₃（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
③當(dāng)AE=CE時，
∴2|m-3|=$\sqrt{4{m}^{2}-6m+9}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴E4（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴存在點E，使△ACE為等腰三角形，滿足條件的點E₁（3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$+$\frac{9}{2}$），E₂（3-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$），E₃（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），E4（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，平面內(nèi)，兩點間的距離公式，三角形的面積計算方法，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，繼而本題的關(guān)鍵是用時間t表示出線段，難點是分三種情況求點E的坐標(biāo)，