Question

7．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD=$\frac{2}{3}$，BD=$\sqrt{5}$，則CD為1或5．

Answer 1

分析 分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，在Rt△ABD中由cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，可設(shè)設(shè)AD=2x，則AB=3x，結(jié)合BD的長根據(jù)勾股定理可得$9{x}^{2}=4{x}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}$，求得x的值后即可得AB=AC=3，AD=2，在銳角三角形中CD=AC-AD，在鈍角三角形中CD=AC+AD即可得答案．

解答 解：①如圖1，若△ABC為銳角三角形，

∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴設(shè)AD=2x，則AB=3x，
∵AB²=AD²+BD²，
∴$9{x}^{2}=4{x}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}$，
解得：x=1或x=-1（舍），
∴AB=AC=3x=3，AD=2x=2，
∴CD=AC-AD=1；
②如圖2，若△ABC為鈍角三角形，

由①知，AD=2x=2，AB=AC=3x=3，
∴CD=AC+AD=5，
故答案為：1或5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的形狀分類討論．