Question

已知點A（0，-2）、B（5，-2）、C（1，0），將△ABC繞點A旋轉后得到△AB₁C₁，C₁在x軸上．
（1）求過點B₁的反比例函數(shù)解析式；
（2）AB₁與x軸交于點P，是否存在一個點Q在反比例函數(shù)上，且S_△AOP=S△B1QP？若存在求出點Q，不存在說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先利用兩點間的距離公式計算出AB=5，AC=

5

，BC=2

5

，再根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，接著根據(jù)旋轉的性質得AC₁=AC=

5

，C₁B₁=CB=2

5

，∠AC₁B=∠ACB=90°，則OC=OC₁=1，作B₁D⊥x軸于D，如圖，然后證明Rt△B₁C₁D∽Rt△C₁AO，利用相似比計算出B₁D=2，C₁D=4，易得B₁點的坐標為（3，2），再利用待定系數(shù)法求出過點B₁的反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
（2）作QE⊥x軸于E，如圖，設Q（t，

6

t

），先利用待定系數(shù)法求出直線AB₁的解析式為y=

4

3

x-2，則確定P點坐標為（

3

2

，0），則PD=OD-OP=

3

2

，S_△AOP=

3

2

，則S_△PB1Q=

3

2

，接著根據(jù)S_{四邊形B1QEP}=S_△PB1Q+S_△PEQ=S_△B1DP+S_梯形B1QED得到

6

t

•|t-

3

2

|=（

6

t

+2）•|t-3|，然后分類討論：

6

t

•（t-

3

2

）=（

6

t

+2）•（t-3）和

6

t

•（t-

3

2

）=-（

6

t

+2）•（t-3），再分別解關于t的方程求出t的值，從而可得到Q點坐標．

解答：解：（1）∵A（0，-2）、B（5，-2）、C（1，0），
∴AB=5，AC=

12+2 2

=

5

，BC=

(5-1)2+(-2)2

=2

5

，
∵（

5

）²+（2

5

）²=5²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，
∵△ABC繞點A旋轉后得到△AB₁C₁，C₁在x軸上，
∴AC₁=AC=

5

，C₁B₁=CB=2

5

，∠AC₁B=∠ACB=90°，
∵AO⊥CC₁，
∴OC=OC₁=1，
作B₁D⊥x軸于D，如圖，
∵∠B₁C₁D+∠AC₁O=90°，∠OAC₁+∠AC₁O=90°，
∴∠B₁C₁D=∠OAC₁，
∴Rt△B₁C₁D∽Rt△C₁AO，
∴

B1D

C1O

=

C1D

OA

=

C1B1

AC1

，即

B1D

1

=

C1D

2

=

2 5

5

，
∴B₁D=2，C₁D=4，
∴OD=C₁D-C₁O=4-1=3，
∴B₁點的坐標為（3，2），
設過點B₁的反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

；
∴k=2×3=6，
∴過點B₁的反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
（2）存在．
作QE⊥x軸于E，如圖，設Q（t，

6

t

），
設直線AB₁的解析式為y=ax+b，
把A（0，-2）、B₁（3，2）代入得

b=-2 3a+b=2

，
解得

k= 4 3 b=-2

，
∴直線AB₁的解析式為y=

4

3

x-2，
當y=0時，

4

3

x-2=0，
解得x=

3

2

，
∴P點坐標為（

3

2

，0），
∴PD=OD-OP=

3

2

，S_△AOP=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴S_△PB1Q=

3

2

，
∵S_{四邊形B1QEP}=S_△PB1Q+S_△PEQ=S_△B1DP+S_梯形B1QED，
∴

3

2

+

1

2

•

6

t

•|t-

3

2

|=

1

2

•2•

3

2

+

1

2

•（

6

t

+2）•|t-3|，
即

6

t

•|t-

3

2

|=（

6

t

+2）•|t-3|，
當

6

t

•（t-

3

2

）=（

6

t

+2）•（t-3），解得t=

3 2

2

或t=-

3 2

2

，此時Q點的坐標為（

3 2

2

，2

2

）或（-

3 2

2

，-2

2

）；
當

6

t

•（t-

3

2

）=-（

6

t

+2）•（t-3），解得t=

3 6

2

或t=-

3 6

2

，此時Q點的坐標為（

3 6

2

，

2 6

3

）或（-

3 6

2

，

2 6

3

），
∴滿足條件的Q點的坐標為（

3 2

2

，2

2

），（-

3 2

2

，-2

2

），（

3 6

2

，

2 6

3

），（-

3 6

2

，

2 6

3

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和旋轉的性質；會運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；能運用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀，運用相似比計算線段的長；會利用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積．