Question

8．已知：如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是對角線，E是AB延長線上一點，且∠BCE=∠ACD，聯(lián)結CE．
（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形；
（2）求證：AC²=AD•AE．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形的性質得出∠ADC=∠BCD，由SAS證明△ADC≌△BCD，得出∠ACD=∠BDC，由等腰三角形的性質和已知條件得出∠BCE=∠CBD，證出BD∥CE，即可得出結論；
（2）證出CE=AC，證明△EAC∽△EBC，得出對應邊成比例$\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，
∴∠ADC=∠BCD，
在△ADC和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠ADC=∠BCD}&{\;}\\{CD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BDC，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=∠CBD，
∴BD∥CE，
又∵DC∥AB，
∴四邊形DBEC是平行四邊形；
（2）由（1）得：四邊形DBEC是平行四邊形，
∴∠E=∠BDC，
∵DC∥AB，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BAC=∠BCE=∠E，
∴CE=AC，
又∵∠B=∠B，
∴△EAC∽△EBC，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$，
∴AC²=AD•AE．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰梯形的性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形相似得出比例式是解決問題（2）的關鍵．