Question

8．如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，則說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，先證明∠ECF=90°，再證明OC=OE=OF，利用勾股定理即可解決．
（2）如圖2中，根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊即可判斷EF＞CF，由此即可判斷．
（3）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證明是矩形，最后證明是正方形即可．

解答 （1）解：如圖1中，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=∠FCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴∠ECF=90°，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠ECB=∠OCE，∠OFC=∠FCD=∠FCO，
∴EO=OC=FO，
在RT△ECF中，∵∠ECF=90°，EC=12，CF=5，
∴EF=$\sqrt{E{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{13}{2}$．
（2）如圖2中，四邊形BCFE不可能是菱形．
由（1）可知∠ECF=90°，
∴EF＞CF，
∴四邊形BCFE不可能是菱形．
（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC等中點(diǎn)，且∠ACB=90°時(shí)四邊形AECF是正方形．
證明：由（1）可知OC=OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形，
∵M(jìn)N∥BC，
∵∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，∵OA=OC，
∴EA=EC，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．