Question

19．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，連接BD，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB交折線AD-DB于點(diǎn)G；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，設(shè)△EFG的面積為y（cm²），點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），（這里規(guī)定，線段是面積為0的幾何圖形）
（1）填空：（用含x的式子表示）
當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí)，EG=$\sqrt{3}x$cm；
當(dāng)點(diǎn)G在DB上時(shí)，EG=-$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$cm；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在直線EG上時(shí)，直接寫(xiě)出x的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí)，如圖1，根據(jù)60°的余切列式可求出EG的長(zhǎng)；
當(dāng)點(diǎn)G在DB上時(shí)，如圖2，先證明△ABD是等邊三角形，再根據(jù)60°的余切列式可求出EG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)F在直線EG上時(shí)，如圖3，根據(jù)EG⊥AB，AB∥CD，可知EF⊥DC，作菱形的高線BP，證明BE=PF，則BE=PF=DF=6-x，利用PC列等量關(guān)系式：PC=6-2（6-x）=3，求出x的值；
（3）分兩種情況：①當(dāng)G在AD上時(shí)，即0≤x≤3，如圖1，根據(jù)y=S_△EFG=S_梯形AEFD-S_△AEG-S_△DFG代入計(jì)算；②當(dāng)G在BD上時(shí)，即3＜x≤6時(shí)，如圖5，根據(jù)y=S_△EFG=S_△EFK-S_△GFK列式計(jì)算．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí)，如圖1，
∵EG⊥AB，∠A=60°，
∴EG=tan60°•AE=$\sqrt{3}$x；
當(dāng)點(diǎn)G在DB上時(shí)，如圖2，
∵AE=x，
∴BE=6-x，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴EG=tan60°•BE=$\sqrt{3}$（6-x）=-$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$；
故答案為：$\sqrt{3}$x，-$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$；
（2）當(dāng)F在直線EG上時(shí)，如圖3，
∵EG⊥AB，AB∥CD，
∴EF⊥DC，
過(guò)B作BP⊥DC，交DC于P，
Rt△BPC中，∠C=60°，BC=6，
∴∠PBC=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵∠BEF=∠EFP=∠FPB=90°，
∴四邊形EFPB是矩形，
∴PF=BE=6-x，
∴PC=6-2（6-x）=3，
x=4.5；
（3）如圖3，BP=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
當(dāng)G與D重合時(shí)，如圖4，可得AE=3
所以分兩種情況：
①當(dāng)G在AD上時(shí)，即0≤x≤3，如圖1，
四邊形AEFD為梯形，
∴y=S_△EFG=S_梯形AEFD-S_△AEG-S_△DFG，
=$\frac{1}{2}$（6-x+x）$•3\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•x•$\sqrt{3}$x-$\frac{1}{2}$（6-x）（3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x），
=-$\sqrt{3}{x}^{2}$+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x，
②當(dāng)G在BD上時(shí)，即3＜x≤6時(shí)，如圖5，
Rt△EGB中，BE=6-x，∠ABG=60°，
tan60°=$\frac{EG}{BE}$，cos60°=$\frac{BE}{BG}$，
∴EG=$\sqrt{3}$（6-x），BG=$\frac{6-x}{\frac{1}{2}}$=2（6-x），
∵△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=6，
∴DG=6-BG=6-2（6-x）=2x-6，
延長(zhǎng)EG交DC于K，
∴EK⊥DC，
Rt△DGK中，KG=DG•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2x-6）=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
DK=DG•cos60°=$\frac{1}{2}$（2x-6）=x-3，
∴FK=x-3-（6-x）=2x-9，
∴y=S_△EFG=S_△EFK-S_△GFK=$\frac{1}{2}$（2x-9）$•3\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（2x-9）•（$\sqrt{3}x-3\sqrt{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2x-9）（6-x），
∴y=-$\sqrt{3}{x}^{2}+\frac{21\sqrt{3}}{2}x-27\sqrt{3}$，
綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{x}^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}x（0≤x≤3）}\\{-\sqrt{3}{x}^{2}+\frac{21\sqrt{3}}{2}x-27\sqrt{3}（3＜x≤6）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，還考查了用函數(shù)關(guān)系式表示變化過(guò)程中的三角形的面積，結(jié)合等邊三角形的特殊角與三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是一道分段函數(shù)的問(wèn)題，難度適中．