Question

如圖，⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D、E、F，連接OB、OC．
求證：∠BOC=90°-

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2

∠A．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)OD、OE、OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，則根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理得到∠1=∠2，∠3=∠4，則∠BOC=

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∠EOF，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠EOF=180°-∠A，于是有∠BOC=

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2

（180°-∠A）=90°-

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2

∠A．

解答：解：連結(jié)OD、OE、OF，如圖，
∵⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D、E、F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，
∴OB平分∠DOF，OC平分∠DOE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BOC=

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∠EOF，
∵∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=180°-∠A，
∴∠BOC=

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2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系；靈活使用切線長定理．