Question

14．閱讀下面材料：
小喬遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA邊上的點(diǎn)，且AE=BC，BD=CE，BE與AD的交點(diǎn)為P，求∠APE的度數(shù)；

小喬發(fā)現(xiàn)題目中的條件分散，想通過(guò)平移變換將分散條件集中，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD且BF=AD，連接EF，AF，從而構(gòu)造出△AEF與△CBE全等，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決（如圖2）．
請(qǐng)回答：∠APE的度數(shù)為45°．
參考小喬同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖3，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D、E分別為CB，CA上的點(diǎn)，且AE=$\frac{1}{2}$BC，BD=$\frac{1}{2}CE$，BE與AD交于點(diǎn)P，在圖3中畫出符合題意的圖形，并求出sin∠APE的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得出AF=BD，進(jìn)而得出△AEF≌△CBE（SAS），即可得出：∠APE的度數(shù)；
（2）根據(jù)題意首先得出△AEF∽△CBE，進(jìn)而得出tan∠FBE=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，即可求出sin∠APE的值．

解答 解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD且BF=AD，連接EF，AF，
∵BF∥AD且BF=AD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴AF=BD，
在△AEF和△CBE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠FAE=∠C}\\{AF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CBE（SAS），
∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠EBF=45°，
∵AD∥BF，
∴∠APE=45°；
故答案為：45°；

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作FB∥AD且FB=AD，連接EF和AF，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∠APE=∠FBE，AF=DB，
∵AB是⊙O直徑，∴∠C=90°，
∴∠FAE=∠BCE=90°，
∵CE=2BD，BC=2AE，
∴CE=2AF，∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BC}{EA}$=2，
∴△AEF∽△CBE，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，∠1=∠3，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90°，
在Rt△BEF中，∠FEB=90°，
∴tan∠FBE=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠APE=∠FBE，
∴sin∠APE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，做出正確輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題關(guān)鍵．