Question

11．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6），點(diǎn)B在y軸上．
（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
（3）D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線y=x+m求出m的值即可．設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出a的值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y_P，y_E，再由PE=h=y_P-y_E即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PE=DC，再由點(diǎn)D在直線y=x+3上得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（3，6）在直線y=x+m上，
∴6=3+m，
∴m=3．
設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²，
∵點(diǎn)A（3，6）在二次函數(shù)的圖象上，
∴6=a（3-1）²，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-1）²，即y=$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{3}{2}$；

（2）設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y_P，y_E，
則PE=h=y_P-y_E=（x+3）-（$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{3}{2}$，即h=-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{3}{2}$（0＜x＜3）；

（3）∵四邊形DCEP是平行四邊形，
∴PE=DC．
∵點(diǎn)D在直線y=x+3上，
∴D（1，4），
∴-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{3}{2}$=4，解得x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=1（舍去），
∴當(dāng)P（$\frac{5}{3}$，$\frac{14}{3}$）時(shí)，四邊形DCEP是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．