Question

17．如下數(shù)表是由從1開始的自然數(shù)組成的．

觀察規(guī)律并解答下列問題：
（1）數(shù)表中第8行第9個數(shù)（從左向右看，下同）是7．第8行各數(shù)的和是64；
（2）若第n行第m個數(shù)為a，用含n、m的式子表示a；
（3）若正整數(shù)k≤n．試求從第1行到第n行這n行中所有等于k的數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）從第1行開始找規(guī)律：確定第n行：第n個數(shù)和第n+1個數(shù)；總結規(guī)律即可；
（2）根據(jù)數(shù)表：每一行中間的數(shù)最大，依次向前減1；所以要分情況進行討論：
①當m≤n時，即為中間前面的數(shù)，第幾個數(shù)就是幾；
②當m＞n時，即中間后面的數(shù)，依次小1，每個數(shù)為2n-m；
（3）從k=1開始依次計算：從第1行到第n行這n行中所有等于k的數(shù)之和，并找規(guī)律即可，

解答 解：（1）第1行：第1個數(shù)為1；
第2行：第2個數(shù)為2，第3個數(shù)為2-1=1；
第3行：第3個數(shù)為3，第4個數(shù)為3-1=2；
第4行：第4個數(shù)為4，第5個數(shù)為4-1=3；
…
第8行：第8個數(shù)為8，第9個數(shù)為8-1=7，
第8行各數(shù)的和=1+2+3+…+8+7+…+1=64；
故答案為：7；64；
（2）分兩種情況：
①當m≤n時，a=m；
②當m＞n時，a=2n-m；
（3）當k=1時，從第1行到第n行這n行中所有等于1的數(shù)之和=1×（2n-1）=2n-1．
當k=2時，從第1行到第n行這n行中所有等于k的數(shù)之和=2×[2（n-1）-1]=4n-6．
當k=3時，從第1行到第n行這n行中所有等于k的數(shù)之和=3×[2（n-2）-1]=6n-15．
…
∴若正整數(shù)k≤n．從第1行到第n行這n行中所有等于k的數(shù)之和=k[2n-（2k-1）]=2nk-2k²+k．

點評 本題考查了數(shù)字的變化類，解題的關鍵是通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．