Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∠ABC的平分線交AC于E點．
（1）求

BC

AB

．
（2）求sin18°．

Answer 1

考點：黃金分割,解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義通過計算角度證明AE=BE=BC，再利用△ABC∽△BCE得到BC：CE=AC：BC，則AE：CE=AC：AE，于是根據(jù)黃金分割的定義得到點E為AC的黃金分割點，所以

AE

AC

=

5 -1

2

，于是有

BC

AB

=

5 -1

2

；
（2）作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH，∠BAH=

1

2

∠BAC=18°，在Rt△ABH中，利用正弦的定義得sin∠BAH=sin18°=

BH

AB

=

1

2

•

BC

AB

，然后利用

BC

AB

=

5 -1

2

，可計算出sin18°的值．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴EA=EB，
∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC，
∵∠CBE=∠A=36°，∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BCE，
∴BC：CE=AC：BC，
∴AE：CE=AC：AE，
∴點E為AC的黃金分割點，
∴

AE

AC

=

5 -1

2

，
∴

BC

AB

=

5 -1

2

；
（2）作AH⊥BC于H，如圖，
∵AB=AC，
∴BH=CH，AH平分∠BAC，
∴∠BAH=

1

2

∠BAC=18°，
在Rt△ABH中，sin∠BAH=sin18°=

BH

AB

=

1

2

•

BC

AB

，
而

BC

AB

=

5 -1

2

，
∴sin18°=

1

2

•

5 -1

2

=

5 -1

4

．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了正弦的定義．