Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，則AE=2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)銳角三角函數(shù)和等積法可以求得BD和BD邊上的高的長，從而可以求得AE的長．

解答 解：∵∠CDB=90°，∠DCA=30°，
∴∠CED=60°，
∴∠AEB=60°，
作AF⊥BD于點F，
∵∠DAB=90°，AB=6，∠ABD=45°，
∴AB=AD=6，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
∴AF=$\frac{AB•AD}{BD}=\frac{6×6}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{AF}{sin60°}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}$，
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理、等積法，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答．