Question

5．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0，t），過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，點(diǎn)B經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的點(diǎn)B′在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）得到k=-1，即反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{x}$，且OB=AB=1，則可判斷△OAB為等腰直角三角形，知∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后軸對(duì)稱的性質(zhì)得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y軸，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)可表示為（-$\frac{1}{t}$，t），于是利用PB=PB′得t-1=|-$\frac{1}{t}$|=$\frac{1}{t}$，然后解方程可得到滿足條件的t的值．

解答 解：如圖，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，1），
∴k=-1×1=-1，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{x}$，
∵OB=AB=1，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y軸，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{t}$，t），
∵PB=PB′，
∴t-1=|-$\frac{1}{t}$|=$\frac{1}{t}$，
整理得t²-t-1=0，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（不符合題意，舍去），
∴t的值為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及知識(shí)點(diǎn)有反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)和用求根公式法解一元二次方程等．利用對(duì)稱的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．