Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上的兩點(diǎn)，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，連接EF，過F作FG⊥BC于點(diǎn)G，其中∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半徑為r，求△EHG的面積（用含r的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，由在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A，易得EF平分∠BFG，繼而證得OE∥FG，證得OE⊥BC，則可得BC是⊙O的切線；
（2）由在△OBE中，sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半徑為r，可求得OB，BE的長(zhǎng)，然后由在△BFG中，求得BG，F(xiàn)G的長(zhǎng)，則可求得EG的長(zhǎng)，易證得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．

解答 （1）證明：連接OE，
∵在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，
∴FG∥AC，
∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=$\frac{1}{2}$∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半徑為r，
∴OB=$\frac{5}{3}$r，BE=$\frac{4}{3}$r，
∴BF=OB+OF=$\frac{8}{3}$r，
∴FG=BF•sinB=$\frac{8}{5}$r，
∴BG=$\sqrt{B{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\frac{32}{15}$r，
∴EG=BG-BE=$\frac{4}{5}$r，
∴S_△FGE=$\frac{1}{2}$EG•FG=$\frac{16}{25}$r²，EG：FG=1：2，
∵BC是切線，
∴∠GEH=∠EFG，
∵∠EGH=∠FGE，
∴△EGH∽△FGE，
∴$\frac{{S}_{△EGH}}{{S}_{△FGE}}$=（$\frac{EG}{FG}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EHG=$\frac{1}{4}$S_△FGE=$\frac{4}{25}$r²．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．