Question

2．已知：如圖，點E、F是半徑為5cm的⊙O上兩定點，點P是直徑AB上的一動點，AB⊥OF，∠AOE=30°，則點P在AB上移動的過程中，PE+PF的最小值是（　�。�

• A． 5cm
• B． 5$\sqrt{2}$cm
• C． 5$\sqrt{3}$cm
• D． 10cm

Answer 1

分析 作點F′與點F關于AB對稱．連接EF′，EF′交AB與點P，連接PF、EF．由軸對稱的性質(zhì)可知PE+FP=EP+PF′=EF′，然后再Rt△EFF′中求得∠EF′F=30°
，由特殊銳角三角函數(shù)值可求得EF′的長度．

解答 解：如圖所示，作點F′與點F關于AB對稱．連接EF′，EF′交AB與點P，連接PF、EF．

∵點F′與點F關于AB對稱，
∴PF′=PF．
∴PE+FP=EP+PF′=EF′．
∵FF′是圓O的直徑，
∴∠FEF′=90°．
∵∠AOE=30°，
∴∠EOF=60°．
∴∠EF′F=30°．
∴$\frac{EF′}{FF′}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{EF′}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴EF′=5$\sqrt{3}$．
∴PE+PF=5$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、軸對稱--路徑最短、圓周角定理、特殊銳角三角函數(shù)值，求得∠EF′F=30°是解題的關鍵．