Question

6．?dāng)?shù)軸的原點(diǎn)O上有一個蝸牛，第1次向正方向爬1個單位長度，緊接著第2次反向爬2個單位長度，第3次向正方向爬3個單位長度，第4次反向爬4個單位長度，…，依此規(guī)律爬下去，當(dāng)它爬完第100次處在B點(diǎn)．
（1）求O、B兩點(diǎn)之間的距離（用單位長度表示）．
（2）若點(diǎn)C與原點(diǎn)相距50個單位長度，蝸牛的速度為每分鐘2個單位長度，需要多少時間才能到達(dá)？
（3）若蝸牛的速度為每分鐘2個單位長度，經(jīng)過1小時蝸牛離O點(diǎn)多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知蝸牛第100次所處位置是1-2+3-4+5-6+…+99-100，計算可知；
（2）點(diǎn)C與原點(diǎn)相距50個單位長度有2種可能：點(diǎn)C在原點(diǎn)左側(cè)、點(diǎn)C在原點(diǎn)的右側(cè)，分別計算兩種情況下蝸牛行進(jìn)路程即可得；
（3）由蝸牛2小時行進(jìn)120個單位長度可得蝸牛行進(jìn)的次數(shù)n滿足$\frac{n（n+1）}{2}$=120，求出n，進(jìn)而可得其最終所處位置是1-2+3-4+5-6+…+15．

解答 解：（1）根據(jù)題意知：1-2+3-4+5-6+…+99-100=-1×50=-50，
∴O、B兩點(diǎn)間距離50單位長度；

（2）由（1）知，如果點(diǎn)C在原點(diǎn)左側(cè)，蝸牛到達(dá)點(diǎn)C行進(jìn)的路程為：1+2+3+4…+100=101×50=5050，
∴蝸牛到達(dá)點(diǎn)C所需時間為：5050÷2=2525（分鐘）；
如果點(diǎn)C在原點(diǎn)的右側(cè)，蝸牛到達(dá)點(diǎn)C行進(jìn)的路程為：1+2+3+4…+99=100×$\frac{99}{2}$=4950，
∴蝸牛到達(dá)點(diǎn)C所需時間為：4950÷2=2475（分鐘）；

（3）∵1小時后蝸牛行進(jìn)的路程為：60×2=120（單位長度），
∴第n次蝸牛行進(jìn)的路程1+2+3+4…+n=120，即$\frac{n（n+1）}{2}$=120，
解得：n=15或n=-16（舍），
故1-2+3-4+5-6+…+15
=（-1）×7+15
=8，
∴經(jīng)過1小時蝸牛在原點(diǎn)右側(cè)，離O點(diǎn)8個單位長度．

點(diǎn)評 本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意掌握蝸牛行進(jìn)的次數(shù)與所處位置及行進(jìn)路程間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．