Question

已知⊙O和不在⊙O上的一點P，過P的直線交⊙O于A，B兩點，若PA•PB=24，OP=5，則⊙O的半徑長為________．

Answer 1

7或1
分析：由于點P不在⊙O上，那么就是說點P在⊙O內(nèi)或⊙O外兩種情況考慮，①點P在⊙O內(nèi)，利用相交弦定理可求⊙O半徑；②點P在⊙O外，利用切割線定理可求⊙O半徑．
解答：①點P在⊙O內(nèi)，連接OP，分別向兩邊延長，與⊙O交于點C、D；
設(shè)CP=x，那么根據(jù)題意得
x（5+5+x）=PA•PB，
解得x=2（其中x=-12不合題意，舍去），
∴半徑OC=OP+CP=5+2=7；

②點P在⊙O外，延長PD交⊙O于點D，PO與⊙O交于點C，
設(shè)OD=x，根據(jù)題意得
（5-x）（5+x）=PA•PB
∴25-x²=24，
解得x=1（負數(shù)不合題意，舍去），
故⊙O的半徑是7或1．

點評：本題是分情況討論，要注意每種情況結(jié)合圖來解題，主要利用了相交弦定理和切割線定理．