Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP與CD相交于點(diǎn)Q．當(dāng)AP+PD的值最小時(shí)，AQ與PQ之間的數(shù)量關(guān)系是（　�。�

• A． AQ=$\frac{5}{2}$PQ
• B． AQ=3PQ
• C． AQ=$\frac{8}{3}$PQ
• D． AQ=4PQ

Answer 1

分析 如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明AN=PN，利用全等三角形證明NQ=PQ，即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD最�。�作DM∥BC交AC于M，交PA于N．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴DE∥AC，
∵AD=DB，
∴CE=EB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$CA′，
∵DE∥CA′，
∴$\frac{EP}{PC}$=$\frac{DE}{CA′}$=$\frac{1}{2}$，
∵DM∥BC，AD=DB，
∴AM=MC，AN=NP，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=CE=EB，MN=$\frac{1}{2}$PC，
∴MN=PE，ND=PC，
在△DNQ和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDQ=∠QCP}\\{∠NQD=∠PQC}\\{DN=PC}\end{array}\right.$，
∴△DNQ≌△CPQ，
∴NQ=PQ，
∵AN=NP，
∴AQ=3PQ．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱(chēng)找到點(diǎn)P位置，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)，屬于中考�？碱}型．