Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB-BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，以DE為邊作正方形DEFG（點(diǎn)D、E、F、G按順時(shí)針方向排列）．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x 秒．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：點(diǎn)G在直線BC上；
（2）設(shè)正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，證出∠ADE=∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG，得出∠DCG=∠DAE=90°，證出∠DCG+∠DCB=180°，即可得出結(jié)論；
（2）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，過點(diǎn)E作EK∥AD，交CD于點(diǎn)K，則AC∥EK∥AD，證明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BH}$，求出BH=$\frac{x（2-x）}{2}$，S=正方形ABCD的面積-△ADE的面積-△BEH的面積，即可得出結(jié)果；
②當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，S=△DEC的面積=4-x；
（3）由（1）知，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，點(diǎn)G在直線BC上，當(dāng)點(diǎn)E與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F的位置如圖2所示：點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為BF；同理，點(diǎn)E在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為FG；由勾股定理求出BD，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD與四邊形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG （SAS），
∴∠DCG=∠DAE=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCG+∠DCB=180°，
∴點(diǎn)G在直線BC上；
（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，過點(diǎn)E作EK∥AD，交CD于點(diǎn)K，如圖1所示：
則AC∥EK∥AD，
∴∠HEK=∠EHB，∠DEK=∠EDA，
∵∠EHB+∠BEH=90°，∠EDA+∠AED=90°，∠HEK+∠DEK=90°，
∴∠EDA=∠BEH，∠AED=∠EHB，
∴△ADE∽△BEH，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BH}$，即$\frac{2}{2-x}$=$\frac{x}{BH}$，
∴BH=$\frac{x（2-x）}{2}$，
S=正方形ABCD的面積-△ADE的面積-△BEH的面積=2×2-$\frac{1}{2}$×2×x-$\frac{1}{2}$×（2-x）×$\frac{x（2-x）}{2}$=$\frac{-{x}^{3}+4{x}^{2}-8x+16}{4}$；
②當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，S=△DEC的面積=$\frac{1}{2}$×2×（4-x）=4-x；
（3）解：由（1）知，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，點(diǎn)G在直線BC上，當(dāng)點(diǎn)E與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F的位置如圖2所示：
點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為BF；
同理，點(diǎn)E在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為FG；
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BF+FG=2BD=4$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．