Question

4．如圖所示，拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c經(jīng)過A、B兩點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（0，-6）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點E為拋物線的頂點，點C為拋物線與x軸的另一交點，點D為y軸上一點，且DC=DE，求出點D的坐標(biāo)；
（3）在直線DE上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似，請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點C的坐標(biāo)，設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），作EF⊥y軸于點F，利用勾股定理列式表示出DC²與DE²，然后解方程求出m的值，即可得到點D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點C、D、E的坐標(biāo)判定△COD和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的長度，然后①分OC與CD是對應(yīng)邊；②OC與DP是對應(yīng)邊；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DP的長度，過點P作PG⊥y軸于點G，再分點P在點D的左邊與右邊兩種情況，分別求出DG、PG的長度，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系即可寫出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過A（-2，0）、B（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-2b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
故拋物線的函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
（2）如圖1中，作EF⊥y軸于點F，
令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
則點C的坐標(biāo)為（6，0），
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴點E坐標(biāo)為（2，-8），設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），
∵DC²=OD²+OC²=m²+6²，DE²=DF²+EF²=（m+8）²+2²，
∵DC=DE，
∴m²+36=m²+16m+64+4，
解得m=-2，
∴點D的坐標(biāo)為（0，-2）；
（3）如圖2中，過點P作PG⊥y軸于點G，EF⊥y軸于F．
∵點C（6，0），D（0，-2），E（2，-8），
∴CO=DF=6，DO=EF=2，
根據(jù)勾股定理，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在△COD和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=DF}\\{∠COD=∠DFE}\\{DO=EF}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC與CD是對應(yīng)邊時，
∵△DOC∽△PDC，
∴$\frac{OC}{DC}$=$\frac{OD}{DP}$，
即$\frac{6}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2}{DP}$，
解得DP=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵PG∥EF，
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{PG}{EF}$=$\frac{DP}{DE}$，
∴$\frac{DG}{6}$=$\frac{PG}{2}$=$\frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{2\sqrt{10}}$
∴DG=2，PG=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)點P在點D的左邊時，OG=DG-DO=1-1=0，
所以點P（-$\frac{2}{3}$，0），
當(dāng)點P在點D的右邊時，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，點P（$\frac{2}{3}$，-4），
②OC與DP是對應(yīng)邊時，
∵△DOC∽△CDP，
∴$\frac{OC}{DP}$=$\frac{OD}{DC}$，
即$\frac{6}{DP}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$解得DP=6$\sqrt{10}$，
∵PG∥EF
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{PG}{EF}$=$\frac{DP}{DE}$，
∴$\frac{DG}{6}$=$\frac{PG}{2}$=$\frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}$，
∴DG=18，PG=6，
當(dāng)點P在點D的左邊時，OG=DG-OD=18-2=16，
所以，點P的坐標(biāo)是（-6，16），
當(dāng)點P在點D的右邊時，OG=OD+DG=2+18=20，
所以，點P的坐標(biāo)是（6，-20），
綜上所述，滿足條件的點P共有4個，其坐標(biāo)分別為（-$\frac{2}{3}$，0）、（$\frac{2}{3}$，-4）、（-6，16）、（6，-20）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，第三個問題學(xué)會分類討論，一定要注意分相似三角形的對應(yīng)邊的不同，點P在點D的左右兩邊的情況討論求解．