Question

9．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，P為對角線AC上的一點，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF．求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)與判定方法得出AD∥BC，進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出AD=DC，即可得出答案．

解答 證明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，PE=PF，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 此題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定方法以及菱形的判定，得出AD=DC是解題關(guān)鍵．