Question

如圖，▱ABCD中，AB=2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓交邊BC于點(diǎn)E，連接DE、AC、AE．

（1）求證：△AED≌△DCA；

（2）若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點(diǎn)E，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．

分析：

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AE，易證得四邊形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可證得：△AED≌△DCA；

（2）由DE平分∠ADC且與⊙A相切于點(diǎn)E，可求得∠EAD的度數(shù)，繼而求得∠BAE的度數(shù)，然后由扇形的面積公式求得陰影部分（扇形）的面積．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴四邊形AECD是梯形，

∵AB=AE，

∴AE=CD，

∴四邊形AECD是等腰梯形，

∴AC=DE，

在△AED和△DCA中，

，

∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠ADE，

∵四邊形AECD是等腰梯形，

∴∠DAE=∠ADC=2∠AED，

∵DE與⊙A相切于點(diǎn)E，

∴AE⊥DE，

即∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，

∵四邊形ACD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠DCE=120°，

∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，

∴S_陰影=×π×2²=π．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．