Question

4．如圖，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上）繞B點順時針旋轉得到的．O′在x的正半軸上，B的坐標為（1，3）．
（1）如果二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過O、O′兩點，求這個二次函數(shù)解析式；
（2）求邊C′O′所在直線的函數(shù)解析式；
（3）將上述拋物線作適當平移，得拋物線y₁=a（x-h）²，當4＜x≤m時，y₁≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）連接OB，O′B，根據(jù)旋轉的性質可得OB=O′B，從而求得點O′的坐標，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）設點D的坐標是（1，a），表示出O′D的長度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點D的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式；
（3）先把y=x²-2x配成頂點式，易得拋物線C₁：y₁=（x-1）²，再求出拋物線與直線y=x的交點坐標，于是可得到y(tǒng)₁≤x恒成立的m的范圍，則可得到m的最大值．

解答 解（1）如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B點的坐標為（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴點O′的坐標是（2，0），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過O、O′兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x；

（2）設點D的坐標為（1，a），則AD=a，
∵點B的坐標是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD²+AO′²=O′D²，
∴a²+1²=（3-a）²，
解得a=$\frac{4}{3}$，
∴點D的坐標為（1，$\frac{4}{3}$），
設直線C′O′的解析式為y=kx+b，
則 $\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴邊C′O′所在直線的解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

（3）y=x²-2x=（x-1）²-1，所以將拋物線向上平移1個單位得拋物線C₁：y₁=（x-1）²，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1）^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
所以當4＜x≤m時，y₁≤x恒成立，則m的最大值為$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要有矩形的性質，等腰三角形三線合一的性質，全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等，綜合性較強，難度中等，需仔細分析細心計算．