Question

20．已知拋物線y₁=-x²+mx+n，直線y₂=kx+b，y₁的對稱軸與y₂交于點A（-1，5），點A與y₁的頂點B的距離是4．
（1）求y₁的解析式；
（2）若y₂隨著x的增大而增大，且y₁與y₂都經(jīng)過x軸上的同一點，求y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得頂點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點公式即可求得m、n，從而求得y₁的解析式；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)y₁的解析式為y₁=-x²-2x時，拋物線與x軸的交點是拋物線的頂點（-1，0），不合題意；
當(dāng)y₁=-x²-2x+8時，解-x²-2x+8=0求得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，然后根據(jù)A的坐標(biāo)和y₂隨著x的增大而增大，求得y₁與y₂都經(jīng)過x軸上的同一點（-4，0），然后根據(jù)待定系數(shù)法求得即可．

解答 解：（1）∵拋物線y₁=-x²+mx+n，直線y₂=kx+b，y₁的對稱軸與y₂交于點A（-1，5），點A與y₁的頂點B的距離是4．
∴B（-1，1）或（-1，9），
∴-$\frac{m}{2×（-1）}$=-1，$\frac{4×（-1）n-{m}^{2}}{4×（-1）}$=1或9，
解得m=-2，n=0或8，
∴y₁的解析式為y₁=-x²-2x或y₁=-x²-2x+8；
（2）①當(dāng)y₁的解析式為y₁=-x²-2x時，拋物線與x軸交點是（0.0）和（-2.0），
∵y₁的對稱軸與y₂交于點A（-1，5），
∴y₁與y₂都經(jīng)過x軸上的同一點（-2，0），
把（-1，5），（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=5}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴y₂=5x+10．
②當(dāng)y₁=-x²-2x+8時，解-x²-2x+8=0得x=-4或2，
∵y₂隨著x的增大而增大，且過點A（-1，5），
∴y₁與y₂都經(jīng)過x軸上的同一點（-4，0），
把（-1，5），（-4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=5}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$；
∴y₂=$\frac{5}{3}$x+$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．