Question

如圖，四邊形ABCD中，如果∠A=∠B=90°，∠1=∠2=45°，使A，E，B在同一直線上，連接CD，并且AD=BE．
（1）求證：Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）若AD=3，AB=7，請求出△ECD的面積；
（3）若P為CD的中點(diǎn)，連接PA、PB．試判斷△APB的形狀，并證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠ADE=∠BEC和DE=CE，即可證明RT△ADE≌RT△BEC，即可解題；
（2）由（1）結(jié)論可得AD=BE，即可求得AE的長，根據(jù)勾股定理可求得DE的長，即可解題；
（3）連結(jié)PE，易證∠PEB=∠PDA和PE=PD，即可證明△BEP≌△ADP，可得PA=PB，∠APD=∠BPE，根據(jù)∠APD+∠APE=90°，即可求得∠APB=90°，即可判定△APB為等腰直角三角形．

解答：（1）證明：∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
在△ADE和△BEC中，

∠A=∠B ∠ADE=∠BEC DE=CE

，
∴RT△ADE≌RT△BEC（AAS），
（2）解：∵RT△ADE≌RT△BEC，
∴AD=BE，
∵AD=3，AB=7，
∴AE=4．
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=5，
∴EC=5，
∴S_△CED=

1

2

×5×5=12.5；
（3）證明：△APB為等腰直角三角形，
理由：連結(jié)PE，

∵P是CD的中點(diǎn)，
∴PD=PC=

1

2

CD．
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴∠CEP=

1

2

∠DEC，∠EPD=90°，PE=

1

2

CD．
∴∠CEP=45°．PE=PD．
∴∠CEP=∠EDC．
∴∠CEP+∠BEC=∠EDC+∠ADE，
∴∠PEB=∠PDA．
在△BEP和△ADP中，

BE=AD ∠PEB=∠PDA PE=PD

，
∴△BEP≌△ADP（SAS），
∴PA=PB，∠APD=∠BPE，
∵∠APD+∠APE=90°，
∴∠BPE+∠APE=90°，
∴∠APB=90°．
∵PA=PB，
∴△APB為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△BEP≌△ADP是解題的關(guān)鍵．