Question

如圖所示，正方形ABCD，點F在CD上，連AF交BC的延長線于E點，點O為BD的中點，連接OF，求證：∠DOF=∠BED．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：設(shè)正方形的邊長為a，F(xiàn)C=c，利用DC∥AB，求出EC，再求出

DF

BD

=

DO

BE

，由∠FDO=∠EBD=45°，即可求出△FDO∽△EBD，從而得出∠DOF=∠BED．

解答：證明：設(shè)正方形的邊長為a，F(xiàn)C=c，則DF=a-c，BD=

2

a，OB=OD=

2 a

2

，
∵DC∥AB，
∴

EC

EB

=

FC

AB

，即

EC

EC+a

=

c

a

，
解得：EC=

ac

a-c

，
在△DOF和△BED中，
∵

DF

DO

=

a-c

2 a 2

=

2 (a-c)

a

，

BD

BE

=

2 a

a+ ac a-c

=

2 (a-c)

a

，
∴

DF

DO

=

BD

BE

，即：

DF

BD

=

DO

BE

，
∵∠FDO=∠EBD=45°，
∴△FDO∽△EBD，
∴∠DOF=∠BED．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出△FDO∽△EBD．