Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB于點(diǎn)F，E為AC上一點(diǎn)，且AE=DE．
（1）求證：DF⊥DE；
（2）若∠ABC+∠AED=180°，求證：AB+AE=2AF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）易證∠BAD=∠CAD和∠CAD=∠ADE，可得∠BAD=∠ADE，即可證明DE∥AB，即可解題；
（2）過(guò)D作DG⊥AC，可證∠ABC=∠DEG，AF=AG，即可證明△DFB≌△DGE，可得BF=EG，即可解題．

解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥DE；
（2）過(guò)D作DG⊥AC，

∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG，∠DFB=∠DGE=90°，
∴AF=AG，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠DEG+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠DEG，
∵在△DFB和△DGE中，

∠DEG=∠DGE ∠ABC=∠DEG DF=DG

，
∴△DFB≌△DGE，（AAS）
∴BF=EG，
∴AB+AE=AF+BF+AE=AF+EG+AE=AF+AG=2AF．
即AB+AE=2AF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DFB≌△DGE是解題的關(guān)鍵．