Question

6．如圖，在⊙O中，AB為直徑，延長CD至E，使得AE⊥CE．
（1）求證：△ABD∽△ACE；
（2）若AE與⊙O相切于點A，AE=4，CE=8，求直徑AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，AE⊥CE，得到∠ADB=∠E=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠C，于是得到△ABD∽△ACE；
（2根據(jù)已知條件證得△ACE∽△DAE，△ABD∽△ADE，列出比例式代入數(shù)值即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥CE，
∴∠E=90°，
∴∠ADB=∠E，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△ACE；

（2）解：∵AE與⊙O相切于點A，
∴∠C=∠B=∠DAE，
∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{CE}{AE}$，
∴DE=$\frac{{AE}^{2}}{CE}$=$\frac{{4}^{2}}{8}$=2，
∴AD=$\sqrt{{AE}^{2}{+DE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ADB=∠E，∠B=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AD}$，
∴AB=$\frac{{AD}^{2}}{DE}$=10．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，弦切角定理，找準(zhǔn)相似三角形是解題的關(guān)鍵．