Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，DE=DC，以D為圓心，DB為半徑作⊙D．求證：
（1）AC是⊙O的切線；
（2）AB+BE=AC．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．
（2）根據(jù)HL先證明Rt△BDE≌Rt△DCF，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)得出AB=AF，即可得出AB+BE=AC．

解答 解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F；
∵AB為⊙D的切線，
∴∠B=90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD=DF
∴AC與⊙D相切；

（2）在△BDE和△DCF中，
∵BD=DF，DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DF}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；及全等三角形的判斷，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．