Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，AE=CF，連接EF、BF，EF交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)G，若BE=BF，∠DFE=2∠BAC，BC=2

3

cm，則△ABC的面積為

 

 cm²．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠GAE=∠GCF，然后利用“角角邊”證明△AEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=CG，GE=GF，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得BG⊥EF，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DFE=∠BEF，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BEF=∠BAC+∠AGE，然后求出∠BAC=∠AGE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=GE，再求出CF=GF，然后利用“HL”證明Rt△BCF和Rt△BGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=BC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得AC=2BG，然后利用勾股定理列式求出AB，最后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠GAE=∠GCF，
在△AEG和△CFG中，

∠GAE=∠GCF ∠AGE=∠CGF AE=CF

，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴AG=CG，GE=GF，
∵BE=BF，
∴BG⊥EF（等腰三角形三線(xiàn)合一），
∵AB∥CD，
∴∠DFE=∠BEF，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BEF=∠BAC+∠AGE，
∵∠DFE=2∠BAC，
∴∠BAC=∠AGE，
∴AE=GE，
∵AE=CF，GE=GF，
∴CF=GF，
在Rt△BCF和Rt△BGF中，

BF=BF CF=GF

，
∴Rt△BCF≌Rt△BGF（HL），
∴BG=BC=2

3

cm，
∵AG=CG，∠ABC=90°，
∴AC=2BG=2×2

3

=4

3

cm，
在Rt△ABC中，AB=

AC2-BC2

=

(4 3 )2-(2 3 )2

=6cm，
所以△ABC的面積=

1

2

AB•BC=

1

2

×6×2

3

=6

3

cm²．
故答案為：6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，熟記各性質(zhì)并最后求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．