Question

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點P作PO⊥BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段OA、OD、OP之間的等量關系，并加以證明；
（3）若BC=6，DF=2AD，求⊙O的半徑及和線段PE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）通過△OAP≌△OBP，證明∠OAP=∠OBP=90°，即可解決問題．
（2）通過射影定理即可解決問題．
（3）首先由射影定理求出⊙O的半徑，進而由射影定理求出OP的長度，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接OB；
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，即∠OBP=90°；
∵PO⊥BA，
∴DA=DB，即OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB；
在△OAP與△OBP中，

OA=OB OP=OP PA=PB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴直線PA為⊙O的切線．
（2）OA²=OD•OP．證明如下：
∵△OAP是直角三角形，AD⊥OP，
∴由射影定理得：OA²=OD•OP．
（3）如圖，連接AE；
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，而OD⊥AB，
∴OD∥BC，而OA=OC，
∴AD=BD，OD為△ABC的中位線，
∴OD=

1

2

BC=3；設⊙O的半徑為λ，
則DF=λ+3，DE=λ-3；
∵EF為⊙O的直徑，
∴∠FAE=90°，
由射影定理得：AD²=FD•DE，
而DF=2AD，
∴DF=4DE，即λ+3=4（λ-3），
解得：λ=5；
由射影定理得：OA²=OD•OP，即5²=3×OP，
∴OP=

25

3

，PE=

25

3

-3=

16

3

．
即⊙O的半徑及和線段PE的長分別為：5，

16

3

．

點評：該題主要考查了切線的判定、射影定理及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．