Question

14．已知：如圖，⊙O的半徑OC垂直弦AB于點H，連接BC，過點A作弦AE∥BC，過點C作CD∥BA交EA延長線于點D，延長CO交AE于點F．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BC=10，AB=16，求OF的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明CD是⊙切線，只要證明CD⊥CO即可．
（2）連結(jié)B0．設(shè)OB=x，在RT△BHO中利用勾股定理求出x，再證明△CHB≌△FHA得CH=HF，CF=2CH，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵OC⊥AB，AB∥CD，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切線．
（2）連結(jié)B0．
設(shè)OB=x，
∵AB=16，OC⊥AB，
∴HA=BH=8，
∵BC=10，
∴CH=6，
∴OH=x-6．
在RT△BHO中，∵OH²+BH²=OB²，
∴（x-6）²+8²=x²
解得$x=\frac{25}{3}$
∵CB∥AE
∴∠CBH=∠FAH，
在△CHB和△FHA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBH=∠FAH}\\{∠CHB=∠AHF}\\{BH=AH}\end{array}\right.$，
∴△CHB≌△FHA
∴CH=HF，
∴CF=2CH=12
∴OF=CF-OC=12-$\frac{25}{3}=\frac{11}{3}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是記住切線的判定方法，利用勾股定理列出方程，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考常考題型．