Question

20．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，PE交CD延長(zhǎng)線于Q，過(guò)E作EF⊥PQ交BC的延長(zhǎng)線于F，則下列結(jié)論：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，CF=$\sqrt{2}$；④若H為QC的中點(diǎn)，當(dāng)P從A移動(dòng)到B時(shí)，線段EH掃過(guò)的面積為$\frac{1}{2}$，其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)一一判斷即可；

解答 解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，
∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，
∴△AEP≌△DEQ，故①正確，
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°，
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵PG=EM，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，故②正確，
③連接QF．則QF=PF，PB²+BF²=QC²+CF²，設(shè)CF=x，
則（2+x）²+1²=3²+x²，
∴x=1，故③錯(cuò)誤，
④當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，Q與D重合，QC的中點(diǎn)H在DC的中點(diǎn)S處，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，QC的中點(diǎn)H與D重合，
故EH掃過(guò)的面積為△ESD的面積的一半為$\frac{1}{2}$，故④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．