Question

6．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：CD平分∠ACE；
（2）判斷直線ED與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若CE=2，AC=8，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理，由$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，得到∠BAD=∠ACD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）連結(jié)OD，如圖，利用內(nèi)錯角相等證明OD∥BC，而DE⊥BC，則OD⊥DE，于是根據(jù)切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；
（3）作OH⊥BC于H，易得四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)D=EH=4，則CH=HE-CE=2，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根據(jù)扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S_扇形OCD-S_△OCD進(jìn)行計算．

解答 （1）證明：∵$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；

（2）解：直線ED與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；

（3）解：作OH⊥BC于H，則四邊形ODEH為矩形，
∴OD=EH，
∵CE=2，AC=8，
∴OC=OD=4，
∴CH=HE-CE=4-2=2，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴陰影部分的面積=S_扇形OCD-S_△OCD
=$\frac{60•π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²
=$\frac{8}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形的計算．