Question

如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）求證：四邊形OBEC是矩形；
（2）連接AE交BD于F，猜想線段BF、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形OBEC是平行四邊形，再由四邊形ABCD是菱形得出AC⊥BD，故可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知BG=CE，∠B=∠CGB=90°，再由AAS定理得出△AFG≌△EFB，故BF=FG，由此可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四邊形OBEC是平行四邊形，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴平行四邊形OBEC是矩形；

（2）BF=

1

2

EC．
證明：∵平行四邊形OBEC是矩形，
∵BG=CE，∠B=∠CGB=90°，BE=CG，
∴∠AGF=90°．
∵四邊形ABCD是菱形．
∴AG=CG，
∴AG=BE．
在△AFG與△EFB中，

AG=BE ∠AGF=∠EBF ∠AFG=∠EFB

，
∴△AFG≌△EFB（AAS），
∴BF=FG=

1

2

BG，
∴BF=

1

2

EC．

點評：本題考查的是菱形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，熟知菱形的對角線互相垂直平分是解答此題的關(guān)鍵．