Question

6．如圖，?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求AB的長；          
（2）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A→D方向運(yùn)動(dòng)，過P作x軸的垂線交折線BC-CD于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PBE的面積為S，試求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解方程x²-7x+12=0即可得出OA、OB的長，在Rt△AOB中，利用勾股定理即可求出AB的長；
（2）由OA、OB可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）按點(diǎn)P、E的位置不同分三種情況考慮．用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)P、E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）∵OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=（x-3）（x-4）=0的兩個(gè)根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
（2）∵OA=4，OB=3，點(diǎn)A在y軸正半軸，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸，
∴A（0，4），B（-3，0），
設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{4}{3}$x+4．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
又∵AD=6，BC在x軸上，
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{4}{3}$（x-6）+4=$\frac{4}{3}$x-4．
（3）根據(jù)點(diǎn)P、E的位置不同，分三種情況考慮．

①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上（包括端點(diǎn)），即0≤t≤5時(shí)（如圖1），
∵P（$\frac{3}{5}$t-3，$\frac{4}{5}$t），E（$\frac{3}{5}$t-3，0），
∴BE=$\frac{3}{5}$t-3-（-3）=$\frac{3}{5}$t，PE=$\frac{4}{5}$t-0=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•PE=$\frac{6}{25}{t}^{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上，點(diǎn)E在線段BC上（包括點(diǎn)C），即5＜t≤8時(shí)（如圖2），
∵P（t-5，4），E（t-5，0），
∴BE=t-5-（-3）=t-2，PE=4，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•PE=2t-4；
③當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上，點(diǎn)E在線段CD上（包括點(diǎn)D），即8＜t≤11時(shí)（如圖3），
∵P（t-5，4），E（t-5，$\frac{4}{3}$（t-8）），
∴PE=$\frac{4}{3}$（11-t），
∴S=$\frac{1}{2}$PE•（x_P-x_B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$（11-t）（t-2）=-$\frac{2}{3}{t}^{2}$+$\frac{26}{3}$t-$\frac{44}{3}$．
綜上可知：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{25}{t}^{2}（0≤t≤5）}\\{2t-4（5＜t≤8）}\\{-\frac{2}{3}{t}^{2}+\frac{26}{3}t-\frac{44}{3}（8＜t≤11）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用分解因式法解一元二次方程求出OA、OB的長；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（3）分點(diǎn)P、E的位置不同來考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的位置不同分類討論是關(guān)鍵．