Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=8，E是邊AB上一點(diǎn)，且AE=AB，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G（∠GEB為銳角），與邊AB所在直線相交于另一點(diǎn)F，且EG：EF=.當(dāng)邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，AB的長(zhǎng)是 .

 

 

Answer 1

12或4.

【解析】

試題分析：如答圖，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，連接OE，∴EN=NF，

又∵EG：EF=，∴EG：EN=，

又∵GN=AD=8，∴設(shè)EN=k，則，根據(jù)勾股定理得：.

解得：k =4.∴EN=4，.

設(shè)⊙O的半徑為r，由OE2=EN2+ON2，即：r2=16+（8﹣r）2，解得：r=5．

∵∠GEB為銳角，∴點(diǎn)F在點(diǎn)E的右邊，分兩種情況：

①當(dāng)邊BC所在的直線與⊙O相切于點(diǎn)K時(shí)，如答圖1，連接OK.∴OK=NB=5.∴EB=9，

又AE=AB，∴AB=12．

②當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切于點(diǎn)Q時(shí)，如答圖2，連接OQ。∴OQ=AN=5.∴AE=1.

又AE=AB，∴AB=4．

綜上所述，當(dāng)邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，AB的長(zhǎng)是12或4.

考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)；2.切線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.垂徑定理；5.分類(lèi)思想的應(yīng)用.