Question

學(xué)完分式的運算后，我們通過這樣一道題：計算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．
特殊探究：
（1）通過觀察：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，那么

1

4×5

可以拆成的兩個分?jǐn)?shù)的差為

 

；
（2）

1

2013×2014

可以拆成的兩個分?jǐn)?shù)的差為

 

；
歸納計算：
（1）

1

n(n+1)

可以拆成的兩個分式的差為

 

；
（2）通過以上探究計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…．
拓展應(yīng)用：
請將算式中的

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

 

第n項填寫在空白處．當(dāng)算式的值為

8

17

時，n的值為

 

．

Answer 1

考點：分式的加減法

專題：閱讀型,規(guī)律型

分析：特殊探究：利用拆項方法變形即可得到結(jié)果；
歸納計算：（1）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）利用得出的拆項方法計算即可得到結(jié)果；
拓展應(yīng)用：寫出第n項，根據(jù)算式的值為

8

17

時，確定出n的值即可．

解答：解：特殊探究：（1）

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；
（2）

1

2013×2014

=

1

2013

-

1

2014

；
歸納計算：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…）．
拓展應(yīng)用：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

；
根據(jù)題意得：

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

8

17

，即

1

2

（1-

1

2n+1

）=

8

17

，
解得：n=8．
故答案為：（1）

1

4

-

1

5

；（2）

1

2013

-

1

2014

；（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

1

(2n-1)(2n+1)

；8

點評：此題考查了分式的加減法，弄清拆項方法是解本題的關(guān)鍵．