Question

10．如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時不需要寫出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度數(shù)．
（2）當點P運動時，那么∠APB：∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律．
（3）當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；
（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論；
（3）由平行線的性質(zhì)可得到∠ACB=∠CBN=60°+∠DBN，結(jié)合條件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度數(shù)．

解答 解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°-60°=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
當∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABC+∠DBN=60°，
∴∠ABC=30°．

點評 本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角相等?兩直線平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．