Question

如圖，在直角坐標系中，已知坐標軸上兩點A（1，0）、B（0，1），P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一象限內的一支上的可動點，由P向x軸、y軸作垂線（C、D為垂足）分別交線段AB于E、F兩點．
（1）求線段BE、AF的長（用a，b的代數(shù)式表示）；
（2）△AOF與△BOE一定相似嗎？說明理由；
（3）當P點在曲線上移動時，△OEF的哪個角的大小保持不變，為什么？

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1））作EH⊥OB于H，作FG⊥OA于G，先證EH∥PD，F(xiàn)G∥PC，得出比例式

BE

AB

=

EH

OA

，

AF

AB

=

FG

OB

，即可求出BE、AF；
（2）先證∠OAB=∠OBA，再證明

AF

OA

=

OB

BE

，即可證出△AOF∽△BOE；
（3）∠EOF=45°保持不變；由△AOF∽△BOE，得出對應角相等∠AFO=∠BOE，再根據(jù)外角∠AOF=∠BOF+45°，即可得出結論．

解答： 解：（1）作EH⊥OB于H，作FG⊥OA于G，如圖所示：
根據(jù)題意得：OA=OB=1，EH=a，F(xiàn)G=b，
∴AB=

2

，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴EH∥PD，F(xiàn)G∥PC，
∴

BE

AB

=

EH

OA

，

AF

AB

=

FG

OB

，
即

BE

2

=

a

1

，

AF

2

=

b

1

，
∴BE=

2

a，AF=

2

b；
（2）△AOF∽△BOE；理由如下：
∵P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一象限內的一支上的可動點，
∴ab=

1

2

，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵

AF

OA

=

2 b

1

=

2

b，

OB

BE

=

1

2 a

=

2

2a

=

2

b，
∴

AF

OA

=

OB

BE

，
∴△AOF∽△BOE；
（3）∠EOF=45°保持不變；
∵△AOF∽△BOE，
∴∠AFO=∠BOE，
∵∠AOF=∠BOF+45°，∠BOE=∠EOF+∠BOF，
∴∠EOF=45°．

點評：本題通過反比例函數(shù)、相似三角形的判定與性質等知識，考查學生的推理論證和計算能力；證明三角形相似是解題的關鍵．