Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）在拋物線1₁：y=ax²+bx+1（a，b為常數(shù)，且a≠0）上，直線1₂經(jīng)過(guò)拋物線1₁的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求l₁的解析式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)l₁上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線從左向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y_p也隨之以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度變化，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），連接OP，以線段OP為直徑作⊙F．
①求y_p關(guān)于t的表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)P在起點(diǎn)A處時(shí)，直線l₂與⊙F的位置關(guān)系是相切，在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，直線1₂與⊙F是否始終保持著上述的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）條件下，當(dāng)點(diǎn)P開(kāi)始從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線從左到右運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l₂同時(shí)向下平移，垂足D的縱坐標(biāo)y_D以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度速度變化，當(dāng)直線l₂與⊙F相交時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）兩點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+1解析式，列方程組即可解決問(wèn)題．
（2）①分兩種情形討論①0≤t≤$\frac{1}{8}$，②t＞$\frac{1}{8}$，分別求解即可．②當(dāng)點(diǎn)P在起點(diǎn)A處時(shí)，直線l₂與⊙F的位置關(guān)系是相切．結(jié)論：在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，直線1₂與⊙F始終保持相切，只要求出圓心到直線y=1的距離，以及圓的半徑即可判斷．
（3）剛開(kāi)始時(shí)直線l₂與⊙F是相切的，接下來(lái)是相交的，只要求出第二次相切時(shí)的時(shí)間即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）代入拋物線1₁：y=ax²+bx+1中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=\frac{3}{4}}\\{4a+2b+1=0}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+1    則對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=0，頂點(diǎn)為（0，1）；
（2）①由題意1-$\frac{3}{4}$=2t解得t=$\frac{1}{8}$，
∴0≤t$≤\frac{1}{8}$時(shí)，y_P=$\frac{3}{4}$+2t，
t＞$\frac{1}{8}$時(shí)，y_P=1-2（t-$\frac{1}{8}$）=$\frac{5}{4}$-2t．
②當(dāng)點(diǎn)P在起點(diǎn)A處時(shí)，OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴⊙F的半徑為$\frac{5}{8}$，
∵點(diǎn)F坐標(biāo)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{8}$），
∴點(diǎn)F到直線y=1的距離為$\frac{8}{5}$，
∴點(diǎn)F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴直線l₂與⊙F相切，
故答案為相切．
結(jié)論：在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，直線1₂與⊙F始終保持相切．
理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），則點(diǎn)F坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$），
∵OP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴⊙F的半徑=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)F到直線y=1的距離為1-（-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，直線1₂與⊙F始終保持相切．
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），則點(diǎn)F坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$），
∵OP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴⊙F的半徑=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$，
∴直線y=-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$m²與⊙F相切，
∵t＞$\frac{1}{8}$時(shí)，-$\frac{1}{4}$m²+1=1-2（t-$\frac{1}{8}$），
∴-$\frac{1}{4}$m²=-2t+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)1-3t=-2t+$\frac{1}{4}$時(shí)直線l₂與⊙F相切，解得t=$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)0＜t＜$\frac{3}{4}$時(shí)，⊙F與直線l₂相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、直線與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程去思考，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．