Question

2．如圖，拋物線y=a（x-1）²+$\sqrt{2}$（a≠0）經(jīng)過y軸正半軸上的點(diǎn)A，點(diǎn)B，C分別是此拋物線和x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且AD平分△ABO的面積，過D作DF∥BC交x軸于F點(diǎn)，則DF的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，a（m-1）²+$\sqrt{2}$），點(diǎn)C坐標(biāo)為（n，0），由AD平分△ABO的面積可知點(diǎn)D為線段OB的中點(diǎn)，結(jié)合DF∥BC可知DF是△OBC的中位線，即DF=$\frac{1}{2}$BC，用兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段BC的長度，根據(jù)實(shí)數(shù)的平方非負(fù)可找出BC的最小值，從而得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，a（m-1）²+$\sqrt{2}$），點(diǎn)C坐標(biāo)為（n，0）．
∵點(diǎn)D在OB上，且AD平分△ABO的面積，
∴OD=BD，
又∵DF∥BC，
∴DF是△OBC的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC．
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：
BC²=（m-n）²+$[a（m-1）^{2}+\sqrt{2}]^{2}$=（m-n）²+a²（m-1）⁴+2$\sqrt{2}$a（m-1）²+2，
結(jié)合拋物線開口向上可知a＞0，
∴（m-n）²≥0，a²（m-1）⁴≥0，2$\sqrt{2}$a（m-1）²≥0，
∴BC²≥2，
∴BC=$\sqrt{2}$．
∵DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、兩點(diǎn)間距離公式以及實(shí)數(shù)的平方非負(fù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)的平方非負(fù)找出線段BC的最小值．本題屬于中檔題，難度不大，巧妙的利用了兩點(diǎn)間的距離公式尋找最值，兩點(diǎn)間的距離公式雖說高中知識，單在初中階段我們已經(jīng)經(jīng)常用到，此處使用給做題帶來了極大的方便，故在日常做題中應(yīng)適度的增加該部分的練習(xí)．