Question

4．已知如圖，正方形ABCD中，GM是其對稱軸，E點是線段GM上的點，連接CE，以CE為直角邊作等腰直角三角形CEF，∠ECF=90°，連接FB交直線GM于N
（1）求證：BF=AE；
（2）當∠AEG=30°時，求$\frac{BN}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接DE，如圖，由對稱性可得AE=DE，要證BF=AE，只需證BF=DE，只需證△BCF≌△DCE即可；
（2）由∠AEG=30°可推出∠CBF=30°，運用三角函數可得到BN與BM的關系、AG與AE的關系、易得AG=BM，從而得到BN與AE的關系，再結合（1）中的結論BF=AE就可解決問題．

解答 解：（1）連接DE，如圖．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=CB，∠BCD=90°．
∵∠ECF=90°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCF=∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠BCF=∠DCE}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCE，
∴BF=DE．
∵GM是正方形ABCD的對稱軸，
∴AE=DE，
∴BF=AE；

（2）∵GM是正方形ABCD的對稱軸，
∴AG=$\frac{1}{2}$AD，BM=$\frac{1}{2}$BC，∠DEG=∠AEG，GM∥DC．
∵AD=BC，∴AG=BM．
∵∠AEG=30°，∴∠DEG=30°．
∵GM∥DC，∴∠CDE=∠DEG=30°．
∵△BCF≌△DCE，
∴∠CBF=∠CDE=30°．
在Rt△AGE中，sin∠AEG=$\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2AG=2BM，
∴BF=AE=2BM．
在Rt△BMN中，cos∠CBF=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BN=$\frac{2BM}{\sqrt{3}}$=$\frac{BF}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{BN}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、軸對稱圖形的性質、三角函數等知識，證到△BCF≌△DCE是解決第（1）小題的關鍵，利用（1）中的結論BF=AE是解決第（2）小題的關鍵．