Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，3）為二次函數(shù)y=ax²+bx-2（a≠0）與反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限的交點，已知該拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）交x軸正負半軸分別于E點、D點，交y軸負半軸于B點，且tan∠ADE=

1

2

．
（1）求二次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知點M為拋物線上一點，且在第三象限，順次連接點D、M、B、E，求四邊形DMBE面積的最大值；
（3）在（2）中四邊形DMBE面積最大的條件下，過點M作MH⊥x軸于點H，交EB的延長線于點F，Q為線段HF上一點，且點Q到直線BE的距離等于線段OQ的長，求Q點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（2，3）代入反比例函數(shù)的解析式即可求出k的值；由條件tan∠ADE=

1

2

可求出D的坐標，把A和D點的坐標代入到y(tǒng)=ax²+bx-2（a≠0）中求出a和b的值即可去吃二次函數(shù)的解析式；
（2）過M作MH⊥DE于H，設(shè)M的坐標為（a，

1

2

a²+

3

2

a-2），由題意可知S_{四邊形DMBE}=S_△DHM+S_{四邊形HOBM}+S_△OEB，進而得到S和a的二次函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形DMBE面積的最大值；
（3）首先由拋物線的解析式可求出拋物線的對稱軸，設(shè)過EB的直線為y=kx+b，由E和B的坐標即可求出其解析式，再通過△QPE∽△EHF，得到

QP

EH

=

QF

EF

，進而求出b的值，又Q在線段HF上，所以Q點的坐標可求出．

解答：解：（1）將A（2，3）代入y=

k

x

中，
解得：k=6，
∴y=

6

x

，
又∵且tan∠ADE=

1

2

，
∴D（-4，0），
將A，D代入y=ax²+bx-2（a≠0）中得：

4a+2b-2=3 16a-4b-2=0

，
解得：

a= 1 2 b= 3 2

，
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）過M作MH⊥DE于H，設(shè)M的坐標為（a，

1

2

a²+

3

2

a-2），
則S_{四邊形DMBE}=S_△DHM+S_{四邊形HOBM}+S_△OEB，
=

(a+4)•MH

2

+

(2+MH)•(-a)

2

+

1×2

2

，
=

aMH+4MH-2a-aMH

2

+1=2MH-a+1，
=2（-

1

2

a²-

3

2

a+2）-a+1，
=-a²-4a+5，
=-（a+2）²+9，
∴當a=-2時，四邊形DMBE的面積最大為9；

（3）∵y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∴拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=-

3

2

，
∴點E的坐標為（1，0），
又∵B（0，-2），
∴EB的解析式為y=2x-2，
∴F的坐標為（-2，-6），
∴EF=

32+62

=3

5

，
設(shè)Q（-2，b），
∴FQ=b+6，QP=OQ=

4+b2

，
∵△QPF∽△EHF，
∴

QP

EH

=

QF

EF

，
∴

4+b2

3

=

b+6

3 5

，
∴20+5b²=（b+6）²，
∴b²-3b-4=0，
∴b₁=4（舍），b₂=-1，
又∵Q在線段HF上，
∴Q（-2，-1）．

點評：此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式以及各種函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定及其性質(zhì)和一元二次方程的求解，題目的綜合性很強，難度不小，對學生的解題能力要求很高．