Question

如圖，在圓心角為120°的弧ACB的兩端引相交于點(diǎn)D的兩條切線，⊙O′與AD、BD、

ACB

都相切，請比較⊙O′的周長與弧ACB的長的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),弧長的計(jì)算

專題：

分析：連接O'E，設(shè)⊙O的半徑是R，則弧ACB的長是：

120πR

180

=

2πR

3

，設(shè)⊙O'的半徑是r，利用相切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和以及直角三角形的性質(zhì)，利用R表示出r，求得⊙O′的周長，從而進(jìn)行比較．

解答：解：連接O'E，
∵AD是圓的切線，
∴OA⊥AD，O'E⊥AD，
∴OA∥O'E．
設(shè)⊙O的半徑是R，則弧ACB的長是：

120πR

180

=

2πR

3

，
設(shè)⊙O'的半徑是r，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，∠EO'D=60°，
∴∠ODA=30°，
∴OD=2OA=2R，O'D=2O'D=2r，
又OO'=R+r，
∴R+r+2r=2R，
則r=

R

3

，
則較⊙O′的周長是2πr=

2πR

3

．
則⊙O′的周長與弧ACB的長相等．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)定理，以及相切的量圓的性質(zhì)，利用R表示出r是關(guān)鍵．